Question

向量

a

=(sinx，

3

2

)，

b

=（cosx，-1）．
（Ⅰ）

a

与

b

可否垂直？说明理由；
（Ⅱ）设f（x）=（

a

-

b

）•

a

．
（i）y=f（x）在x∈[-

π

2

，0]上的值域；
（ii）说明由y=sin2x的图象经哪些变换可得y=f（x）图象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用坐标求其数量积不为0，从而可判断

a

与

b

不会垂直．
（Ⅱ）先求得函数f（x）=

17

4

-

2

2

sin(2x+

π

4

)（i）整体考虑得-

3π

4

≤t=2x+

π

4

≤

π

4

，进而可求y=f（x）在x∈[-

π

2

，0]上的值域；
（ii）先进行相位变换y=sin2x的图象(向左平移

π

8

个单位)⇒y=sin(2x+

π

4

)图象再沿x轴对折，进而将每个点横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

2

2

倍，将所得图象上移

17

4

个单位即可．

解答：解：（Ⅰ）

a

⊥

b

=?sinxcosx-

3

2

=0?sin2x=3．这不可能，故

a

与

b

不会垂直．
（Ⅱ）f（x）=

17

4

-

2

2

sin(2x+

π

4

)
（i）-

3π

4

≤t=2x+

π

4

≤

π

4

，
显见y=sint(t∈[-

3π

4

，

π

4

])的值域为[-1，

2

2

]
故所求值域为[4，

17

4

+

2

2

]
（ii）y=sin2x的图象(向左平移

π

8

个单位)⇒y=sin(2x+

π

4

)图象
（沿x轴对折）⇒y=-sin(2x+

π

4

)图象
（每个点横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

2

2

倍）⇒y=-

2

2

sin(2x+

π

4

)的图象（上移

17

4

个单位）⇒y=

17

4

-

2

2

sin(2x+

π

4

)

点评：本题以向量为整体，考查向量的数量积，考查向量与三角函数的关系，考查三角函数图象的变换．