题目内容

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，
3
2
）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为
12
2
7
，求直线l的方程．
（1）由题意可设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
由|F1F2|=2得c=1，∴F1（-1，0），F2（1，0），
又点（1，
3
2
）在椭圆C上，∴2a=
(1+1)2+(
3
2
)2
+
(1-1)2+(
3
2
)2
=4，a=2．则b2=a2-c2=4-1=3．
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）如图，
设直线l的方程为x=ty-1，A（x1，y1），B（x2，y2），
把x=ty-1代入
x2
4
+
y2
3
=1，得：（3t2+4）y2-6ty-9=0
∴
y1+y2=
6t
3t2+4
y1y2=
-9
3t2+4
，
∴|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
(
6t
3t2+4
)2-4×
-9
(3t2+4)
=
12
t2+1
3t2+4
，
∴S=
1
2
|F1F2||y1-y2|=
12
t2+1
3t2+4
=
12
2
7
，
解得：t2=-
17
18
（舍）或t2=1，t=±1．
故所求直线方程为：x±y+1=0．
练习册系列答案
相关题目
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|的值为（　　）
A．
p
2
B．pC．
3p
2
D．2p
已知点A（1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．
已知椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在直线l，使得OA⊥OB，O为坐标原点，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
直线L：
x
4
+
y
3
=1与椭圆E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，长轴端点与短轴端点间的距离为
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率．
直线y=x+m与曲线y=
1-2x2
有两个交点，则实数m的取值范围是______．
在同一坐标系中，方程
x2
a2
+
y2
b2
=1与bx2=-ay（a＞b＞0）表示的曲线大致是（　　）
A．B．C．D．
如图，已知椭圆C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的离心率为e，点F为其下焦点，点O为坐标原点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）与椭圆C相交于P，Q两点，且满足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）试用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范围．

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