Question

已知等差数列{a_n}中，a₃+a₇＜2a₆且a₃，a₇是方程x²-18x+65=0的两根，数列{b_n}的前项和S_n=1-b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项的和T_n，并证明

1

2

≤Tn＜3．

Answer 1

分析：（1）先判断数列{a_n}是递增数列，可得a₃＜a₇．利用a₃，a₇是方程x²-18x+65=0的两根，即可求得公差d=

a7-a3

7-3

=2，从而可求数列{a_n}的通项公式；由S_n=1-b_n得，当n=1时，b1=

1

2

，当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）由（1）得cn=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，利用错位相减法求和，即可证得．

解答：（1）解：由a₃+a₇=2a₅＜2a₆得a₅＜a₆，所以数列{a_n}是递增数列．…（1分）
所以a₃＜a₇．由x²-18x+65=0解得a₃=5，a₇=13…（2分）
公差d=

a7-a3

7-3

=2，所以a_n=a₃+（n-3）d=2n-1（n∈N^*）…（3分）
由S_n=1-b_n得，当n=1时，b1=

1

2

；…（4分）
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，得bn=

1

2

bn-1…（5分）
所以{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，所以bn=

1

2n

(n∈N*)…（6分）
（2）证明：由（1）得cn=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

…（7分）
所以由错位相减法得Tn=3-

2n+3

2n

＜3…（9分）
因为Tn+1-Tn=3-

2n+5

2n+1

-3+

2n+3

2n

=

2n+1

2n+1

＞0
所以{T_n}是递增数列，所以Tn≥T1=

1

2

故

1

2

≤Tn＜3…（13分）

点评：本题考查根与系数的关系，考查数列的通项的求解，考查数列的求和与不等式的证明，解题的关键是正确求出数列的通项．