Question

如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中 

（1）求证：；

（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；

（3）求到平面PAD的距离

Answer 1

（1）证明见解析（2）（3）

解析:

解法一：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系…………1分

（1）设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴ 

又， ∴  ∴∴

∴       即

（2）设平面PAD的法向量是，

 

∴    取得，又平面的法向量是∴      ∴

（3）   ∴到平面PAD的距离

解法二：

（1）设AC与BD交点为O，连PO；∵P—ABCD是正四棱锥，∴PO⊥面ABCD，

∴AO为PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，由三垂线定理知PA⊥BD，而BD∥B₁D₁；∴ 

（2）由题意知平面PAD与平面所成的锐二面角为二面角A-PD-B；

∵AO⊥面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，

则由三垂线定理知∠AEO为二面角A-PD-B的平面角；     可以计算得， 

（3）设B₁C₁与BC的中点分别为M、N；则到平面PAD的距离为M到平面PAD的距离；

由V_M-PAD=V_P-ADM求得。