Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，a_k=f（x）_minx∈[2k，2k+2]（k∈N），则

lim

n→∞

n

k=0

1

ak

=（　　）

• A．1
• B．

  3

  2

• C．

  4

  3

• D．

  5

  4

Answer 1

分析：由已知函数关系可得，f（x+2）=4f（x），结合x∈[0，1]时，f（x）的值域可求x∈[-1，0]，进而可求x∈[1，2]的值域，利用此规律可求{a_n}是以1为首项，以4为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式可求和，进而可求极限

解答：解：∵f（1+x）•f（1-x）=4，
∴f（1+x）=

4

f(1-x)

令1-x=t可得f（t）=

4

f(2-t)

①
∵f（x）f（-x）=1
∴f（x）=

1

f(-x)

即f（t）=

1

f(-t)

②
①②可得f（t+2）=4f（t）
∴f（x+2）=4f（x）
x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，
设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，则f（x）=

1

f(-x)

∈[

1

2

，1]
所以，x+2∈[1，2]，f（x+2）=4f（x）∈[2，4]，以此类推可得，区间每增加2个长度，值域变为上一区间的4倍
∵a_k=f（x）_min，x∈[2k，2k+2]
∴a₁=f（x）_min，x∈[0，2]
即a₁=1
∴{a_n}是以1为首项，以4为公比的等比数列
∴an=4n-1
∴

lim

n→∞

n

k=0

1

ak

=

lim

n→∞

(1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

)
=

lim

n→∞

1- 1 4n

1- 1 4

=

lim

n→∞

4(1- 1 4n )

3

=

4

3

故答案为：

4

3

点评：本题综合考查了函数的性质的综合应用，等比数列的求和公式及数列极限的求解，试题具有一定的综合性