Question

给出如下命题：
①若2

MP

+3

MQ

+5

MR

=

0

，则三点P，Q，R共线；
②若

MP

=

1

3

MQ

+

2

3

MR

，则三点P，Q，R共线；
③向量

a

，

b

不共线，则关于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

至多有一个实根；
④向量

a

，

b

不共线，则关于x方程

a

x2+

b

x=

0

有唯一实根．
其中正确命题的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：根据三点共线的向量判断法，可以判断①与②的真假，根据平面向量的基本定理，我们可得当λ=-μ²时，则关于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

有一个实根，否则关于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

无实根，进而判断③的真假，若向量

a

，

b

不共线，则关于x方程

a

x2+

b

x=

0

有唯一实根0，进而判断④的真假．

解答：解：若2

MP

+3

MQ

+5

MR

=

0

，
∴

MR

=-

3

5

MP

-

3

5

MQ

，由于-

2

5

-

3

5

=-1≠1，故P，Q，R三点不共线，故①错误；
∵若

MP

=

1

3

MQ

+

2

3

MR

，由于

1

3

+

2

3

=1，可得三点P，Q，R共线，故②正确；
若向量

a

，

b

不共线，则存在唯一的实数对λ，μ使

c

=λ

a

+μ

b

，
若λ=-μ²，则关于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

有一个实根，
若λ≠-μ²，则关于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

无实根，
故关于x方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

至多有一个实根，即③正确；
若向量

a

，

b

不共线，则关于x方程

a

x2+

b

x=

0

有唯一实根0，故④正确；
故答案为：②③④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，向量的线性运算性质及其几何意义，平面向量的基本定理及其意义，熟练掌握三点共线向量判定法及平面向量的基本定理是解答本题的关键．