Question

点P是圆上的一个动点，过点P作PD垂直于轴，垂足为D，Q为线段PD的中点。

（1）求点Q的轨迹方程。

（2）已知点M（1，1）为上述所求方程的图形内一点，过点M作弦AB，若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设Q（x，y），P（x₀，y₀），则D（x₀，0），由Q为线段PD的中点，知x₀=x， y₀=2y，由P（x₀，y₀）在圆x²+y²=16上，知x₀²+y₀²=16，由此能求出点Q的轨迹方程．

（Ⅱ）设直线AB的方程为y-1=k（x-1）．由y=k(x-1)+1 ，，得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，x₁+x₂= ，而M（1，1）是AB中点，则 =1，由此能求出直线方程．

（1）设Q()  P() 则D()   即

   即为所求。                                                   …………4分

（2）法1：依题意显然的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则AB的方程可设为。

由   得         

得                   …………7分

                          …………10分

            …………12分

 法2：（直接求k）：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)。

            …………6分

         …………8分

      …………10分

    …………12分

考点：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

点评：解决该试题的关键是体现了解析几何中设而不求的解题思想，联立方程组，，转化为二次方程的根的问题，结合韦达定理得到。