Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1且

an-1-an

an•an-1

=

an-an+1

an•an+1

（n≥2，n∈N），则此数列的第12项为（　　）

• A．

  1

  6

• B．

  1

  12

• C．

  1

  2n

• D．

  1

  212

Answer 1

分析：由

an-1-an

an•an-1

=

an-an+1

an•an+1

（n≥2）可得

1

an

-

1

an-1

=

1

an+1

-

1

an

，即可得{

1

an

}是等差数列，结合等差数列的通项公式可求

1

an

，进而可求a_n，把n=6代入通项可求

解答：解：∵

an-1-an

an•an-1

=

an-an+1

an•an+1

（n≥2）
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

an+1

-

1

an

∵a₁=2，a₂=1
∴

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

∴{

1

an

}是

1

2

以为首项，以

1

2

为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，

1

an

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

1

2

n
∴an=

2

n

∴a12=

1

6

故选A

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是灵活利用等差中项的定义判断数列为等差数列，结合等差数列的通项公式进行求解