Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与＝（3，－1）共线．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设M为椭圆上任意一点，且（），证明为定值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）设椭圆方程为，直线AB：y=x－c，

联立消去y可得：，

令A()，B ()，

则，，

向量=(，), 与向量＝（3，－1）共线，

所以3（）+（）=0，

即3（－2c）+（）=0，

4（）－6c=0，

化简得：，

所以离心率为=。

（2）椭圆即： ①

设向量=(x，y)，=()，=()

(x，y)=λ()+μ()

即：x=，y= 

M在椭圆上，把坐标代入椭圆方程① 得 ②

直线AB的方程与椭圆方程联立得，由（1）

已证，所以

所以=，=，

而A，B在椭圆上 ， 

全部代入②整理可得 为定值。

考点：本题主要考查向量共线的条件，直线与椭圆的位置关系。

点评：典型题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，通过联立方程组得到一元二次方程，应用韦达定理可实现整体代换，简化解题过程。