Question

已知函数f（x）=

ax

ax+1

（a＞0，a≠1），记函数[f（x）-

1

2

][f（-x）-

1

2

]的值域为D，若元素t∈D，且t∈Z，则t的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．无穷多个

Answer 1

分析：由已知中f（x）=

ax

ax+1

，可得到函数[f（x）-

1

2

][f（-x）-

1

2

]的解析式，结合指数函数的图象和性质，可求出D，进而得到满足条件的t的个数．

解答：解：∵函数f（x）=

ax

ax+1

=1-

1

ax+1

∴f（-x）=

a-x

a-x+1

=

1

ax+1

故f（x）+f（-x）=1
∴[f（x）-

1

2

][f（-x）-

1

2

]=[f（x）-

1

2

][1-f（x）-

1

2

]
=-[f（x）-

1

2

]²
=-（

1

2

-

1

ax+1

）²，
∵a^x＞0，故0＜

1

ax+1

＜1
故-

1

2

＜

1

2

-

1

ax+1

＜

1

2

故-

1

4

＜-（

1

2

-

1

ax+1

）²≤0
即D=（-

1

4

，0]
由元素t∈D，且t∈Z，
故满足t的个数为1个
故选A

点评：本题考查的知识点是函数的值域，指数函数的图象和性质，其中根据书籍求出函数[f（x）-

1

2

][f（-x）-

1

2

]的解析式是解答的关键．