Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，记的最小值为，求的解析式.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.

【解析】

（1）当时，求出函数的解析式、定义域和导数，分别解不等式和，可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）求得，然后分、和三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可得出函数在区间上的最大值，由此可得出的解析式.

（1）当时，，定义域为，

.

令，得或；令，得.

所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2），，

令，得或.

①当时，对任意的，，

此时，函数在区间上单调递增，则；

②当时，若，则；若，则.

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以，；

③当时，对任意的，.

此时，函数在区间上单调递减，则.

综上所述，.