Question

（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（-1，1），B，C是函数y=

1

x

(x＞0)图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为

2

．

Answer 1

分析：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=

1

x

的交点，联立方程组

y=kx+b y= 1 x

⇒kx²+bx-1=0．设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．

解答：解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=

1

x

的交点，
由

y=kx+b y= 1 x

得kx²+bx-1=0．设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

b

k

，y₁+y₂=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=b，
设BC的中点为D，则D（-

b

2k

，

b

2

）．因为A（-1，1），
依题意，k_AD•k_BC=-1，即

1- b 2

-1+ b 2k

•k=-1，由于k＜0，故1-k≠0，
∴b=

2k

1+k

（b＞0）．
∵|BC|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

b2 k2 + 4 k

=

1+k2

•

4 (1+k)2 + 4 k

∴d_A-BC=

3

2

|BC|，即

|-k-1+b|

1+k2

=

3

2

×|BC|=

3

2

×2

1+k2

•

1 (1+k)2 + 1 k

，
即

| k2+1 1+k |

1+k2

=

3

×

1+k2

•

1 (1+k)2 + 1 k

，解得：k=

-4± 7

3

．
∵b=

2k

1+k

＞0，
∴k=

-4- 7

3

，k²=

23+8 7

9

，
∴d_A-BC=

| k2+1 1+k |

1+k2

=

1+k2

|1+k|

=

1+ 23+8 7 9

1+ 7 3

=

32+8 7

1+ 7

=

2 (1+ 7 )2

1+ 7

=2．
故△ABC的高为2．
故答案为：2．

点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．