Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC，F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1，D为BC中点，E为线段AD上不同于A、D的任意一点，
（1）证明：EF⊥FC₁；
（2）若，是否存在点E满足EF与平面FA₁C₁所成角为，若存在，求点E到平面A₁C₁CA的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意先证明AD⊥面B₁BCC₁，得AD⊥C₁F；再利用≌证明C₁F⊥FD，可得C₁F⊥面DEF；即可得证；
（2）先假设存在，建立坐标系求出平面FA₁C₁的法向量，利用向量数量积列出EF与平面FA₁C₁所成角的余弦值求解即可．
解答：解：（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱锥，∴B₁B⊥面ABC
∴BB₁⊥AD，BC∩BB₁=B，
∴AD⊥面B₁BCC₁，C₁F?面B₁BCC₁
∴AD⊥C₁F；∵BC=BF=2，∴DB=1，又∵FB₁=1
∴≌，∴∠DBF+∠C₁FB₁=，
∴∠DFC₁=∴C₁F⊥FD，
∴C₁F⊥面DEF，∴C₁F⊥EF
（2）以A₁为坐标原点，A₁B₁、A₁C₁、A₁A所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
∴=（0，，0），=（，0，1），
设面A₁FC₁的法向量为=（x，y，z），则有，=0可得
=（1，0，-），D（）
设E（，，3）（0＜t＜1），
∴=（-，，2），由已知=．
整理得2t²+t-3=0，解之得或t=1
∴不存在合适的点E．
点评：本题先根据线面垂直的定义和判定定理证明线线垂直；对于线面角问题用向量求解要简单，此题需要
根据题意列出满足题意的式子求解，判断是否存在合适的点．