Question

在正三棱锥S-ABC中，SA=1，∠ASB=40°，过A作三棱锥的截面AMN，则截面三角形AMN的 周长的最小值为

3

．

Answer 1

分析：因为截面周长为三条线段之和，而当线段共线时，和最小，所以可考虑把三棱锥展开，则AA₁的长度，即为截面三角形的最小周长．再放入三角形中，解三角形即可得到截面周长的最小值．

解答：解：沿侧棱S把正三棱锥的侧面展开如右图，
可观察出，当截与三棱锥各面交线恰好共线时，周长最小，
且最小值为AA₁的长，
在△AA₁S中，SA=SA₁=1，∠ASA₁=120°
∴AA₁²=SA²+SA₁²-2SA•SA₁cos120°
=1+1+1=3
∴AA₁=

3

故答案为

3

点评：本题主要考查了正三棱锥的侧面展开图的性质，充分考查了学生的空间想象力，逻辑推理能力，以及计算能力