Question

已知f（x+1）=x^α（α为常数），且函数y=f（x）的图象经过点（5，2）．
（1）求f（x）的解析式；（2）用单调性定义证明y=f（x）在定义域内为增函数．

Answer 1

解：（1）∵f（x+1）=x^α∴f（x）=（x-1）^α，
又y=f（x）的图象过点（5，2）∴f（5）=（5-1）^α=2，α=log₄2=
∴ （x≥1）
（2）设1≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）==＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）∴y=f（x）在定义域内为增函数．
分析：（1）先根据f（x+1）=x^α表示出f（x），然后将点（5，2）代入，求出α，从而求出函数f（x）的解析式；
（2）设1≤x₁＜x₂，然后通过化简变形判定f（x₁）-f（x₂）的符号，根据增函数的定义进行判定即可．
点评：本题主要考查了幂函数，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键就是对f（x₁）-f（x₂）进行化简变形定号，属于基础题．