题目内容
设函数f（x）=x2+bx+c（x∈R）且f′（x）+f（x）＞0恒成立，则对?a∈（0，+∞），下面不等式恒成立的是（ ）
| A．f（-a）＜eaf（0） | B．f（-a）＞eaf（0） | C．f（a）＜eaf（0） | D．f（a）＞eaf（0） |
令F（x）=ex×f（x），
∵f'（x）+f（x）＞0
∴F′（x）=（ex）′×f（x）+ex×f′（x）
=ex×f（x）+ex×f′（x）
=ex（f'（x）+f（x））＞0，
∴F（x）=ex×f（x）为增函数，又a＞0，
∴F（a）＞F（0），即eaf（a）＞e0f（0）=f（0），
又-a＜0，
∴F（-a）＜F（0），即e-af（-a）＜e0f（0）=f（0），
即f（-a）＜eaf（0）
故选A．
∵f'（x）+f（x）＞0
∴F′（x）=（ex）′×f（x）+ex×f′（x）
=ex×f（x）+ex×f′（x）
=ex（f'（x）+f（x））＞0，
∴F（x）=ex×f（x）为增函数，又a＞0，
∴F（a）＞F（0），即eaf（a）＞e0f（0）=f（0），
又-a＜0，
∴F（-a）＜F（0），即e-af（-a）＜e0f（0）=f（0），
即f（-a）＜eaf（0）
故选A．
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