Question

已知定义域为（-1，1）的函数f(x)=

x

x2+1

．
（Ⅰ）判断函数f（x）奇偶性并加以证明；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；
（Ⅲ）解关于x的不等式f（x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

（I）f（x）为定义域上的奇函数，证明如下：
定义域为（-1，1），关于原点对称，
又f（-x）=

-x

(-x)2+1

=

-x

x2+1

=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（II）f（x）在（-1，1）上单调递增，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-x2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，x12+1＞0，x22+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上单调递增；
（III）由（Ⅰ）知，f（x）为奇函数，
∴f（x-1）+f（x）＜0等价于f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
由（Ⅱ）知f（x）单调递增，
∴

x-1＜-x -1＜x-1＜1 -1＜x＜1

，解得0＜x＜

1

2

，
∴不等式的解集为：(0，

1

2

)；