Question

设函数f（x）=ax+b（a，b＞0），定义：f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，n∈N^*，若f2012(x)=22012x+2012×(22012-1)，则a+b=

2014

．

Answer 1

分析：由题设条件，得到f₂₀₁₂（x）=a²⁰¹²x+a²⁰¹¹b+a²⁰¹⁰b+a²⁰⁰⁹b+a²⁰⁰⁸b+…+a²b+ab+b，利用等比数列求和公式导出f₂₀₁₂（x）=a²⁰¹²x+

b

a-1

（a²⁰¹²-1），再由f2012(x)=22012x+2012×(22012-1)，能够求出a+b的值．

解答：解：由f₁（x）=f（x）=ax+b，
得到f₂（x）=f（f₁（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b，
f₃（x）=f（f₂（x））=a[a（ax+b）+b]+b=a³x+a²b+ab+b，
f₄（x）=f（f₂（f₃（x）））=a{a[a（ax+b）+b]+b}+b=a⁴x+a³b+a²b+ab+b，
…
∴f₂₀₁₂（x）=a²⁰¹²x+a²⁰¹¹b+a²⁰¹⁰b+a²⁰⁰⁹b+a²⁰⁰⁸b+…+a²b+ab+b
=a²⁰¹²x+（a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+a²⁰⁰⁹+a²⁰⁰⁸+…+a²+a+1）b
=a²⁰¹²x+

1×(1-a2012)

1-a

•b
=a²⁰¹²x+

b

a-1

（a²⁰¹²-1），
∵f2012(x)=22012x+2012×(22012-1)，
∴a=2，b=2012．
∴a+b=2014．
故答案为：2014．

点评：本题考查函数的迭代，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式的合理运用．