Question

（2013•广州二模）（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，已知点A（1，

π

2

），点P是曲线ρsin²θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为

2

．

Answer 1

分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点A的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得丨PA丨+d=|PF|+|PA|≥|AF|，当A，P，F三点共线时，其和最小，再求出|AF|的值即可．

解答：解：点A（1，

π

2

）的直角坐标为A（0，1），
曲线曲线ρsin²θ=4cosθ的普通方程为y²=4x，是抛物线．
直线ρcosθ+1=0的直角坐标方程为x+1=0，是准线．
由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点A（0，1）的距离，
所以当A，P，F三点共线时，其和最小，
最小为|AF|=

2

，
故答案为：

2

．

点评：本小题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化、抛物线的简单性质，解题的关键是抛物线的定义解题．