Question

设数列{a_n}满足a₁=2,a_n+1=a_n+(n=1,2,3,…)

求证：a_n＞对一切正整数n成立.

Answer 1

证法一：当n=1时，a₁=2＞,不等式成立,

假设n=k时，a_k＞成立.

当n=k+1时,a_k+1²=a_k²++2＞2k+3+＞2(k+1)+1.

∴n=k+1时，a_k+1＞成立.

综上（1）（2）可知，a_n＞对一切正整数成立.

证法二：当n=1时，a₁=2＞=,结论成立.

假设n=k时结论成立，即a_k＞.

当n=k+1时，由函数f(x)=x+(x＞1)的单调性和归纳假设有a_k+1=a_k+＞+.

因此只需证+≥,

而这等价于()+()²≥

≥0显然成立.

所以当n=k+1时，结论成立.

因此，a_n＞对一切正整数n均成立.