Question

△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且a2+c2-b2=

8

5

ac．
（1）求cos（A+C）+sin2B的值；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由余弦定理求得cosB的值，利用同角三角函数的基本关系求得sinB的值，再利用二倍角公式、诱导
公式求出cos（A+C）+sin2B的值．
（2）若b=2，则由题意可得 a2+c2-4=

8

5

ac，利用基本不等式求得ac≤10，再由△ABC面积为

1

2

ac•sinB 求出
它的最大值．

解答：解：（1）△ABC中，由余弦定理可得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4

5

，
∴sinB=

3

5

，cos（A+C）+sin2B=-cosB+2sinBcosB=-

4

5

+2×

3

5

×

4

5

=

4

25

．
（2）若b=2，则由题意可得 a2+c2-4=

8

5

ac，
∴

8

5

ac≥2ac-4，ac≤10，当且仅当 a=c时取等号．
故△ABC面积为

1

2

ac•sinB≤

1

2

×10×

3

5

=3，故△ABC面积的最大值为 3．

点评：本题主要考查余弦定理、二倍角公式、诱导公式、同角三角函数的基本关系、基本不等式的应用，属于中档题．