Question

在平面直角坐标系x0y中，抛物线y²=2x的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则

|MO|

|MF|

的最大值为

 

．

Answer 1

分析：设M 到准线x=-

1

2

 的距离等于d，由抛物线的定义可得

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

，化简为

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

，令m-

1

4

=t，则m=t+

1

4

，

|MO|

|MF|

=

1+ 1 t+ 3 2 + 9 16t

，利用基本不等式求得最大值．

解答：解：焦点F（

1

2

，0），设M（m，n），则n²=2m，m＞0，设M 到准线x=-

1

2

 的距离等于d，
则

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

=

m2+n2

m+ 1 2

=

m2+2m

m+ 1 2

=

m2+2m m2+m+ 1 4

=

m2+2m m2+m+ 1 4

=

m2+m+m+ 1 4 - 1 4 m2+m+ 1 4

=

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

．令 m-

1

4

=t，t＞-

1

4

，则 m=t+

1

4

，

|MO|

|MF|

=

1+ t t2+ 3 2 t+ 9 16

=

1+ 1 t+ 3 2 + 9 16t

≤

1+ 1 3

=

2 3

3

（当且仅当 t=

3

4

 时，等号成立）．
故

|MO|

|MF|

的最大值为

2 3

3

，
故答案为

2 3

3

．

点评：本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把

|MO|

|MF|

化为

1+ m- 1 4 m2+m+ 1 4

，是解题的关键和难点，属于中档题．