Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2+2S_n=3a_n（n∈N^*）．数列bn=．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）若对于任意n∈N^*，不等式b_n≥（n+1）λ恒成立，求实数λ的最大值；
（3）对于数列{b_n}中值为整数的项，按照原数列中前后顺序排列得到新的数列{c_n}，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中2+2S_n=3a_n，n∈N^*，我们可以得到 ，根据等比数列的定义，即可得到数列{a_n}为等比数列；
（2）由（1）中结论，我们易求出数列{b_n}的通项公式，下面分类讨论：①当n=1时，b₁≥2λ，②n≥2时，令f（n）=，利用f（n）=，（n≥2）为递增数列．f（n）_min=，从而λ的最大值．
（3）根据当n=2k-1（k≥2）时，及当n=2k（k≥1）时，求出c_n的解析式，
解答：解：（1）a₁=2，2+2S_n=3a_n，2+2S_n+1=3a_n+1，
所以2a_n+1=3a_n+1-3a_n，
即：恒成立．
所以，{a_n}为以2为首项，公比为3的等比数列．
（2）b_n=．
①n=1时，b₁≥2λ，
②n≥2时，≥（1+n）λ，λ≤
令f（n）=，f（n+1）-f（n）=≥0（n≥2）
所以，f（n）=，（n≥2）为递增数列．f（n）_min=，
从而
由①，②知 ，所以λ的最大值等于 ．
（3）c₁=1
当n=2k-1（k≥2）时，c_n=2×
当n=2k（k≥1）时，c_n=
点评：本题以数列递推式为依托，主要考查等比关系的确定，数列的函数特征，数列递推式，数列与不等式的综合．其中（1）的关键是根据等比数列的定义，证得 为定值，但要注意由限制首项不为0．