Question

【题目】已知点和点，直线，的斜率乘积为常数，设点的轨迹为，下列说法正确的是（ ）

A.存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值

B.存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值

C.不存在非零常数，使上所有点到两点，距离之差的绝对值为定值

D.不存在非零常数，使上所有点到两点，距离之差的绝对值为定值

Answer 1

【答案】BD

【解析】

首先求出点的轨迹方程，然后分类讨论，即可判断出选项是否正确.

设点坐标，

因为直线，的斜率乘积为常数，

所以，

可知当，轨迹为圆，

当，轨迹为椭圆，

当，轨迹为双曲线，且焦点在轴上，

对于A选项，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且焦点的距离为，

由轨迹方程知，椭圆的长轴长为，长轴长小于焦距，这样的椭圆不存在，

故A错误，

对于B选项，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且焦点的距离为，

由轨迹方程知，椭圆的长轴长为，短轴长为，

有，故B正确，

对于C选项，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且焦点的距离为，

由轨迹方程知，双曲线的实轴长为，虚轴长为，

有，故C错误，

对于D选项，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，

但题中轨迹方程焦点在轴上，故满足条件的非零常数不存在，

故D正确.

故选：BD.