Question

已知函数f(x)＝，x＝1是函数y＝f(x)的极值点.

(1)求实数a的值；

(2)若方程f(x)－m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值.

Answer 1

【解析】(1)x>0时，f(x)＝(x²－2ax)e^x，

∴f′(x)＝(2x－2a)e^x＋(x²－2ax)e^x＝[x²＋2(1－a)x－2a]e^x，

由已知，f′(1)＝0，∴[1＋2(1－a)－2a]e＝0，

∴1＋2－2a－2a＝0，∴a＝.

(2)由(1)知x>0时，f(x)＝(x²－x)e^x，

∴f′(x)＝(2x－)e^x＋(x²－x)e^x

＝(x－1)(2x＋3)e^x，

令f′(x)＝0得x＝1(x＝－舍去)，当x>0时：

x	(0,1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)		极小值－e

所以，要使方程f(x)－m＝0有两个不相等的实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，可知m＝0或m＝－e.