Question

已知函数f（x）=2asinxcosx+2cos²x，且f（

π

3

）=2
（1）求a的值，并写出函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[0，

π

2

]内的最值和取到最值时的x值．

Answer 1

分析：（1）先计算a的值，再利用二倍角、辅助角公式，化简，即可得到结论；
（2）确定2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用三角函数的性质，即可得到结论．

解答：解：（1）∵f（

π

3

）=2，∴代入得a=

3

                           …（2分）
∴f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1
∴T=

2π

2

=π．                                                  …（4分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
当2x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

6

时，f（x）_max=3                       …（6分）
当2x+

π

6

=

7π

6

时，即x=

π

2

时，f（x）_min=0                   …（8分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，属于中档题．