题目内容

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且m=（a、b），n=（cosA、cosB），P=（2 $数学公式$ sin $数学公式$ ，2sinA），若m∥n，p²=9，试判断三角形的形状．

解：∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即acosB-bcosA=0，由正弦定理得：sinAcosB-cosAsinB=0，
∴sin（A-B）=0，∴A=B，
∵ $\text{[math]}$ =（2 $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ ，2sinA）且 $\text{[math]}$ ²= $\text{[math]}$ =9，又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ +（2sinA）²=9，即8 $\text{[math]}$ +4sin²A=9，
化简得：cosA= $\text{[math]}$ ，由A∈（0，π），得到A= $\text{[math]}$ ，
∴A=B=C= $\text{[math]}$ ，
∴△ABC为等边三角形．
分析：根据向量平行时，向量的坐标满足的条件得到一个关系式，利用正弦定理化简此关系式得到sin（A-B）的值等于0，根据A与B为三角形的内角，得到A等于B，又利用模的计算法则表示出 $\text{[math]}$ 的平方，让其等于9，利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简后，得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，即可得到B的度数，进而得到C的度数，即可判断三角形ABC的形状．
点评：本题是向量和三角函数相结合的题目，既考查了向量的基本知识，又考查了三角函数的有关知识，三角形的形状既可由角确定，又可由边确定，因此既可从角入手，把边化为角；也可从边入手，把角化为边来判断三角形的形状．