Question

【题目】设函数（且，），是定义域是的奇函数.

（1）求的值，判断并证明当时，函数在上的单调性；

（2）已知，函数，，求的值域；

（3）已知，若对于时恒成立，请求出最大的整数

Answer 1

【答案】（1） ,在上为增函数；（2） ；（3） .

【解析】

试题分析：（1）根据函数为上的奇函数,可得的值.即可得的解析式,根据函数单调性定义,利用做差可得出函数单调性；（2）根据的值求,可得的解析式,利用换元法,将转化为二次函数,利用二次函数的性质,即可求得值域；（3）利用换元法和参变量分离,将不等式转化为恒成立,利用二次函数性质求得最小值,即可求范围.

试题解析：解：

（1）∵是定义域为上的奇函数，∴，得，

，，即是上的奇函数

设，则，

∵，∴，∴，∴在上为增函数.

（2）∵，∴，即，∴或（舍去）

则，，令，，

由（1）可知该函数在区间上为增函数，则，

则，，

当时，；当时，

所以的值域为.

（3）由题意，即，在时恒成立，

令，，则

则，恒成立，

即为，恒成立

，恒成立，当时，，

∴，则的最大整数为.