Question

已知关于x的实系数一元二次不等式ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则M=

a+3b+4c

b-a

的最小值是

2

5

+5

．

Answer 1

分析：由题意可得4ac≥b²，而M=

a2+3ab+4ac

a(b-a)

≥

a2+3ab+b2

ab-a2

=

1+3• b a +( b a )2

b a -1

，令

b

a

=t，M可化为M=（t-1）+

5

t-1

+5，下由基本不等式可得．

解答：解：由题意，ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，
则必有△=b²-4ac≤0，a＞0，即4ac≥b²
对于M=

a+3b+4c

b-a

，分子、分母同乘a可得，
M=

a2+3ab+4ac

a(b-a)

≥

a2+3ab+b2

ab-a2

=

1+3• b a +( b a )2

b a -1

令

b

a

=t，∵a＜b，a＞0，∴t＞1，
故M=

t2+3t+1

t-1

=

(t-1)2+5(t-1)+5

t-1

=（t-1）+

5

t-1

+5
≥2

(t-1) 5 t-1

+5=2

5

+5，当且仅当t=

5

+1，即b=（

5

+1）a时等号成立，
故答案为：2

5

+5

点评：本题为基本不等式求最值，涉及二次不等式恒成立以及代数式的变形，属基础题．