Question

矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面AC，且PA=1，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，求a的取值范围．

Answer 1

分析：由三垂线的性质知，AQ⊥QD，所以，点Q在以线段AD为直径的圆上，又点Q在BC边上，所以，

a

2

≥1；计算可得答案．

解答：解：∵PA⊥平面AC，∴AQ是 PQ在面ABCD的射影，
∵PQ⊥QD，∴AQ⊥QD，
∴点Q在以线段AD为直径的圆上，圆的半径为

a

2

，
又点Q在BC边上，又矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），
∴

a

2

≥1，故a≥2，故a的取值范围[2，+∞）．

点评：本题体现转化的数学思想，转化为以AD为直径的圆与边BC有交点，属于中档题．