Question

已知函数f（x）=ax 3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，求出函数的解析式及导函数的解析式，代入x=2，可得切点坐标和切线的斜率（导函数值），进而可得直线的点斜式方程．
（2）解方程f′（x）=0，由a＞0可得x=

1

a

，讨论f′（x）在各区间上的符号，进而由导函数符号与原函数单调区间的关系得到答案．

解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x 3-

3

2

x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=3x²-3x，
∴f（2）=3，即切点坐标为（2，3）
f′（2）=6，即切线的方程为6
故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即6x-y-9=0
（2）∵f（x）=ax 3-

3

2

x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），
令f′（x）=0，则x=0，或x=

1

a

∵a＞0，即

1

a

＞0，
∵当x∈（-∞，0）∪（

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＜0；
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（

1

a

，+∞），单调递减区间为（0，

1

a

）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．