Question

已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，；        
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，，
求证：．

Answer 1

（I）当时，， 所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以时；
当时，，，所以．
（II）．
（III）证明：见解析．

。本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．本题属难题，一般要求做（1），（2）即可，让学生掌握常见方法，对（3）不做要求．
（1）用解方程或根与系数的关系表示a2k-1，a2k，k赋值即可．
（2）由S_2n=（a₁+a₂）+…+（a_2n-1+a_2n）可分组求和．
（3）Tn复杂，常用放缩法，但较难．
（I）解：方程的两个根为，，
当时，，       所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以时；
当时，，，所以．
（II）解：
．
（III）证明：，所以，
．
当时，，
，
同时，
．综上，当时，．