Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若对x∈R，都有f（2x）﹣1≤f（x），则实数a的最大值为（　　）
A.
B.
C.
D.1

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f（2x）﹣1≤f（x）恒成立，即|2x﹣a|﹣|2x﹣4a|﹣1≤|x﹣a|﹣|x﹣4a|恒成立，
即|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立．
此不等式中，绝对值的“根”共有4个： ， a，2a，4a，
当x＜时，不等式即 a﹣2x+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即0≤1．
当≤x＜a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即2x﹣≤a，故有2a﹣≤a，即a≤ ．
当a≤x＜2a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+4a﹣2x+1，即x≤ ．
当2a≤x＜4a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+2x﹣4a+1，即 8a≤2x+1，故8a≤4a+1，可得a≤ ．
当x≥4a时，不等式即 2x﹣a+x﹣4a≤a﹣x+2x﹣4a+1，即0≤1．
综上可得，a≤ ， 故a的最大值为 ，
故选：B．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．