Question

（2011•重庆三模）设函数f（x）=（x-1）²+a1nx，其中a为常数．
（Ⅰ）当a＞

1

2

时，判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出导函数，对分子配方，判断出导函数大于0恒成立，得到函数的单调性．
（Ⅱ）将已知函数f（x）在其定义域上既有极大值又有极小值转化为2x²-2x+a=0有两个大于0的不等实根，结合二次函数的图象写出约束条件，求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

=

2(x- 1 2 )2+a- 1 2

x

（x＞0），
当a＞

1

2

时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，由已知得到2x²-2x+a=0有两个大于0的不等实根，
所以

△=4-8a＞0 a 2 ＞0

解得0＜a＜

1

2

点评：本题考查导函数的符号与函数单调性的关系；考查函数的极值点处的导数为0，将极值的情况转化为导函数的根的情况是解决本题的关键．