题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；    （Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，且
AQ
=λ
QB
，
AE
=μ
EB
．求证：λ+μ为定值，并计算出该定值．
（Ⅰ）由条件得
2b2
a
=1
2b=a
?
a=2
b=1
，所以方程为
x2
4
+y2=1
（Ⅱ）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1y1），B（x2，y2），E（-4，y0）
由
y=k(x+1)
x2
4
+y2=1
?(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0
△=48k2+16＞0
x1+x2=-
8k2
1+4k2
，x1x2=
4k2-4
1+4k2

由
AQ
=λ
QB
?(-1-x1，-y1)=λ(x2+1，y2)即
-(x1+1)=λ(x2+1)(1)
y1=-λy2

AE
=μ
EB
?(-4-x1，y0-y1)=μ(x2+4，y2-y0)即
-(x1+4)=μ(x2+4)(2)
y0-y1=μ(y2-y0)

由（1）λ=
x1+1
x2+1
，由（2）μ=
x1+4
x2+4

∴λ+μ=-
(x1+1)(x2+4)+(x1+4)(x2+1)
(x2+1)(x2+4)
=-
2x1x2+5(x1+x2)+8
(x2+1)(x2+4)

将x1+x2=-
8k2
1+4k2
，x1x2=
4k2-4
1+4k2
代入有∴λ+μ=-
8k2-8
1+4k2
-
40k2
1+4k2
+8
(x2+1)(x2+4)
=-
8k2-8-40k2+8+32k2
1+4k2
(x2+1)(x2+4)
=0
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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