Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为

3

的直线交C于A、B两点，若

AF

=4

FB

，则双曲线C的离心率为

6

5

．

Answer 1

分析：设直线AB的方程为y=

3

（x-c），与双曲线方程消去x并化简得（

1

3

b2-a²）y²+

2 3

3

b²cy+b⁴=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系得到y₁+y₂=

2 3 b2c

3a2-b2

，y₁y₂=

-3b4

3a2-b2

．由于

AF

=4

FB

，得到y₁=-4y₂代入上式消去y₂得关于a、b、c的等式，结合b²=c²-a²解之得c=

6

5

a，再结合双曲线的离心率公式即可算出题中双曲线C的离心率．

解答：解：∵直线AB过点F（c，0），且斜率为

3

∴直线AB的方程为y=

3

（x-c）
与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1消去x，得（

1

3

b2-a²）y²+

2 3

3

b²cy+b⁴=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=

2 3 b2c

3a2-b2

，y₁y₂=

-3b4

3a2-b2

∵

AF

=4

FB

，可得y₁=-4y₂
∴代入上式得-3y₂=

2 3 b2c

3a2-b2

，-4y₂²=

-3b4

3a2-b2

消去y₂并化简整理，得

4

3

c2=

3

4

(3a2-b2)
将b²=c²-a²代入化简，得c2=

36

25

a2，解之得c=

6

5

a
因此，该双曲线的离心率e=

c

a

=

6

5

故答案为：

6

5

点评：本题给出双曲线的斜率为

3

的焦点弦被焦点分成1：4的两部分，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．