Question

已知函数在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）若P（x，y）为图象上任意一点，直线l与的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数在x=1处取得极值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b确定出f（x）即可；
（2）令f′（x）＞0求出增区间得到m的不等式组求出解集即可；
（3）找出直线l的斜率k=f′（x），利用换元法求出k的最小值和最大值即可得到k的范围．
解答：解：（1）因，
而函数在x=1处取得极值2，
所以⇒⇒
所以；
（2）由（1）知，
如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]，
所以，⇒-1＜m≤0，
所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：=
令，则t∈（0，1]，此时，
根据二次函数的图象性质知：
当时，k_min=，当t=1时，k_max=4
所以，直线l的斜率k的取值范围是．
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及直线斜率的求法．