题目内容

若 $数学公式$ 的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：法1：令f=x+y，则f²=（x+y）²≤2（x²+y²）=2，所以f≤ $\text{[math]}$ ．由xy= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．由此能求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
法2：令x=cosa，y=sina，则 xy=cosa•sina=[（cos（ $\text{[math]}$ ））²-（sin（ $\text{[math]}$ ））²]•2sin（ $\text{[math]}$ ）cos（ $\text{[math]}$ ）=sin（ $\text{[math]}$ ）•[cos（ $\text{[math]}$ ）-sin（ $\text{[math]}$ ）]•（1+cosa+sina），而x+y-1=sina+cosa-1=2sin（ $\text{[math]}$ ）cos（ $\text{[math]}$ ）-2（sin（ $\text{[math]}$ ））²=2sin（ $\text{[math]}$ ）•[cos（ $\text{[math]}$ ）-sin（ $\text{[math]}$ ）]，由此能求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
解答：解法1：令f=x+y，
则f²=（x+y）²≤2（x²+y²）=2，
所以f≤ $\text{[math]}$ ．
另一方面xy= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
当x=y= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取到最大值 $\text{[math]}$ ．
解法2：令x=cosa，y=sina，
则 xy=cosa•sina=[（cos（ $\text{[math]}$ ））²-（sin（ $\text{[math]}$ ））²]•2sin（ $\text{[math]}$ ）cos（ $\text{[math]}$ ）
=2sin（ $\text{[math]}$ ）•[cos（ $\text{[math]}$ ）-sin（ $\text{[math]}$ ）]•[cos（ $\text{[math]}$ ）+sin（ $\text{[math]}$ ）]•cos（ $\text{[math]}$ ）
=sin（ $\text{[math]}$ ）•[cos（ $\text{[math]}$ ）-sin（ $\text{[math]}$ ）]•（1+cosa+sina），
而x+y-1=sina+cosa-1
=2sin（ $\text{[math]}$ ）cos（ $\text{[math]}$ ）-2（sin（ $\text{[math]}$ ））²
=2sin（ $\text{[math]}$ ）•[cos（ $\text{[math]}$ ）-sin（ $\text{[math]}$ ）]，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1+cosa+sina）
= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ sin（a+ $\text{[math]}$ ））
≤ $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ），
所以当x=y= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查函数值域的求法，解题时要认真审题．，仔细挖掘题设中的隐含条件，在解法1国要注意均值不等式的合理运用，在解法2中要注意三角函数的灵活运用．