Question

（2007•河北区一模）已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的对称轴方程；
（Ⅲ）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：先分解因式，然后利用二倍角的余弦公式以及两角差的余弦，化为一个角的一个三角函数的形式，
（Ⅰ）依据T=

2π

2

求出周期；
（Ⅱ）依据2x+

π

4

=kπ即可求出对称轴方程；
（Ⅲ）令2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，解出即得到函数的单调减区间．

解答：解：f（x）=（cos⁴x-sin⁴x）-2sinx•cosx=（cos²x-sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

）． …（4分）
（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．  …（6分）
（Ⅱ）2x+

π

4

=kπ，则x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．
∴函数f（x）的对称轴方程是x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z． …（8分）
（Ⅲ）令2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，…（10分）
则kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z．
故f（x）的单调递减区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．  …（12分）

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦，二倍角的余弦，正弦函数的单调性，三角函数的最值，把三角函数式化简为y=Asin（ωx+φ）+k（ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法．