Question

已知函数f（x）=

3

cos（-π-

x

2

）sin（3π+

x

2

）-cos²

x

2

+1．
（Ⅰ）用五点作图法，作出函数f（x）在[0，2π]上的简图；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

11

10

，求cosx的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

，利用五点作图法，作出函数f（x）在[0，2π]上的简图即可；
（Ⅱ）依题意，可求得sin（x-

π

6

）=

3

5

，cos（x-

π

6

）=

4

5

，利用cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]即可求得答案．

解答：解（Ⅰ）∵f（x）=-

3

cos

x

2

•（-sin

x

2

）-

1+cosx

2

+1
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+

1

2

=sin（x-

π

6

）+

1

2

，
∵x∈[0，2π]，列表如下：

作图如下：

（Ⅱ）∵f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

，f（x）=

11

10

，
∴sin（x-

π

6

）=

3

5

，
又x∈[0，

π

2

]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
即cos（x-

π

6

）=

4

5

，
∴cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]
=cos（x-

π

6

）cos

π

6

-sin（x-

π

6

）sin

π

6

=

4 3

10

-

3

10

．

点评：本题考查五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查运用诱导公式化简求值与两角和的余弦，属于中档题．