Question

14．有同学说，定积分${∫}_{a}^{b}$f（x）dx的值也可以这样计算：
（1）分割：在[a，b]上插入n-1个点，a=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b，将[a，b]割成n个小区间：[x₀，x₁]，[x₁，x₂]，…[x_i-1，x_i]，…[x_n-1，x_n]，记第i个区间的长度为△x_i，△x_i=x_i-x_i-1（i=）1，2，…，n），记n个区间长度中最长的为T，即T=max{△x₁，△x₂，…，△x_n}；
（2）近似代、求和．设ξ∈[x_i-1，x_i]，则${∫}_{a}^{b}$f（x）dx≈$\sum_{i=1}^{n}$f（ξ）△x_i
（3）取极限：当T无限减小趋向于零时，则$\sum_{i=1}^{n}$f（ξ）△x_i无限趋向于${∫}_{a}^{b}$f（x）dx，即${∫}_{a}^{b}$f（x）dx=$\underset{lim}{x→∞=1}$$\sum_{i=1}^{n}$f（ξ）△x_i
这样就算正确吗？为什么？

Answer 1

分析 利用定积分的定义即可判断出．

解答 解：该同学给出的步骤满足定积分的定义：分割、近似代、求和、取极限．
但是${∫}_{a}^{b}$f（x）dx=$\underset{lim}{x→∞=1}$$\sum_{i=1}^{n}$f（ξ）△x_i，不正确，应该为：${∫}_{a}^{b}$f（x）dx=$\underset{lim}{T→0}$$\sum_{i=1}^{n}$f（ξ）△x_i
因此此由定积分的定义可知不正确．

点评 本题考查了定积分的定义，考查了理解能力，属于基础题．