Question

7．已知O是△ABC内心，若$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，则cos∠BAC=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 过O作OD∥AC，OE∥AB，因为O是内心，得到四边形ADOE是菱形，所以AD=AE=DO，由平行四边形法则得到$\frac{2}{5}AB=\frac{1}{5}AC$，设AB=5k，过O作OF∥BC交AB于F，通过数据线相似得到BF，OF的长度，在三角形ODF中，利用余弦定理求cos∠DFO．

解答 解：过O作OD∥AC，OE∥AB，因为O是内心，所以四边形ADOE是菱形，
并且$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$$+μ\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，
所以$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AE}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，
又AD=AE，所以$\frac{2}{5}AB=\frac{1}{5}AC$，
设AB=5k，则AC=10k，OD=2k，
过O作OF∥BC交AB于F，则∠4=∠5，又∠3=∠4，
所以∠3=∠5，所以BF=OF，
又△ABC∽△DFO，所以BF：AB=DO：AC，则DF=k，
所以BF=AB-AD-DF=5k-2k-k=2k，
所以OF=2k，
所以cos∠BAC=cos∠FDO=$\frac{D{F}^{2}+O{D}^{2}-O{F}^{2}}{2DF•OD}$=$\frac{{k}^{2}+4{k}^{2}-4{k}^{2}}{2×2k×k}=\frac{1}{4}$；
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则以及利用余弦定理求角；关键是适当作出辅助线，将问题转化为解三角形．属于难题．