Question

已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f(

7

2

)的值是

0

．

Answer 1

分析：从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得．

解答：解：∵xf（x+1）=（x+1）f（x）
令x=-

1

2

可得，-

1

2

f（

1

2

）=

1

2

f（-

1

2

）即f（-

1

2

）=-f（

1

2

）
∵f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，
∴f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=f（

1

2

）
∴f（

1

2

）=0
又∵f（x+1）=

x+1

x

f(x)
∴f（

7

2

）=

7

5

f(

5

2

)=

7

5

×

5

3

f（

3

2

）=

7

3

f(

3

2

)=

7

3

×

3

1

f(

1

2

)=7f（

1

2

）=0
故答案为：0

点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．