题目内容

设向量 $数学公式$ ， $数学公式$ 的夹角为60°且| $数学公式$ |=| $数学公式$ |=1，如果 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）证明：A、B、D三点共线．
（2）试确定实数k的值，使k的取值满足向量 $数学公式$ 与向量 $数学公式$ 垂直．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 共线，
∵ $\text{[math]}$ 有公共点B
∴A，B，D三点共线．
（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∵| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=1，且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos60°= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
分析：（1）利用向量共线证明三点共线，先将 $\text{[math]}$ 表示为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的和，再证明 $\text{[math]}$ ，最后说明 $\text{[math]}$ 有公共点B，即可证明A、B、D三点共线
（2）因为向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为60°且| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=1，所以 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故可将向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作为基底，研究 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 垂直的问题，利用向量垂直的充要条件列方程即可得k值
点评：本题考察了向量共线的充要条件，向量垂直的充要条件，向量数量积运算性质及应用．