Question

在△ABC中，sinA cos2

C

2

+sinC cos2

A

2

=

3

2

sinB，求角B的范围．

Answer 1

分析：通过逆应用二倍角公式，化简方程，然后利用两角和的正弦函数、三角形的内角和，推出a、b、c关系，再利用余弦定理和基本不等式求出cosB的不等式，利用余弦函数的单调性求出B的范围即可．

解答：解：由sinA•

1+cosC

2

+sinC•

1+cosA

2

=

3

2

sinB
得：sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
即sinA+sin（A+C）+sinC=3sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，即2b=a+c．
由余弦定理，得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，
∵0＜B＜π且函数y=cosx在[0，π]]上是减函数
∴0＜B≤

π

3

，
即B的范围是( 0 ，

π

3

 ]．

点评：本题是中档题，考查正弦定理余弦定理，两角和的正弦函数的应用，基本不等式的应用，难度较大，考查计算能力．