题目内容
设函数f（x）=x3-4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（ ）A．x1＞-1
B．x2＜0
C．x2＞0
D．x3＞2
【答案】分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．
解答：解：∵函数f （x）=x3-4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2-4．令f′（x）=0可得 x=
．
∵当x＜-
时，f′（x）＞0；在（-
，
）上，f′（x）＜0；在（
，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（∞，-
）上是增函数，在（-
，
）上是减函数，在（
，+∞）上是增函数．
故f（-
）是极大值，f（
）是极小值．
再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，可得 x1＜-
，-
＜x2＜
，x3＞
．
根据f（0）=a＞0，且f（
）=a-
＜0，可得 
＞x2＞0．
故选C．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．
解答：解：∵函数f （x）=x3-4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2-4．令f′（x）=0可得 x=
．∵当x＜-
时，f′（x）＞0；在（-，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（∞，-
）上是增函数，在（-，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（-
）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，可得 x1＜-
，-＜x2＜，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f（
）=a-＜0，可得 ＞x2＞0．故选C．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．
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