Question

16．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₅=35，a₁、a₄、a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{{2}^{n}-1}}$，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a₁、a₄、a₁₃成等比数列，
∴${a}_{4}^{2}={a}_{1}•{a}_{13}$，
∴$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a₁•（a₁+12d），化为3d²-2a₁d=0，
∵d≠0，∴3d=2a₁．
∵S₅=35，
∴$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}•d$=35，化为a₁+2d=7，联立$\left\{\begin{array}{l}{3d=2{a}_{1}}\\{{a}_{1}+2d=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（II）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{{2}^{n}}-1}$=$\frac{2n+1}{2×{2}^{n}+1-1}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$．
数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
化为T_n=$\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．