Question

（2012•德州一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n．
（I）证明：数列{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），求证：

1

b 2 1

+

1

b 2 2

+…+

1

b 2 n

＜1．

Answer 1

分析：（I）由S_n+2n=2a_n得S_n=2a_n-2n，再写一式，两式相减，即可证数列{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，则

1

bn2

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此可证结论．

解答：证明：（I）由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴数列{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（Ⅱ）由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，
∴

1

bn2

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

1

b 2 1

+

1

b 2 2

+…+

1

b 2 n

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项，正确放缩是关键．