Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点。
（1）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；
（2）如果=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点。

Answer 1

解：（1）由题意：抛物线焦点为（1，0），
设l：x=ty+1，代入抛物线y²=4x，
消去x得y²-4ty-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，
∴=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4t²+4t²+1-4=-3。
（2）设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x得y²-4ty-4b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，
∴=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，
∴b²-4b+4=0，
∴b=2，
∴直线l过定点（2，0）
∴若=-4，则直线l必过一定点。