Question

【题目】如图，已知椭圆： 的离心率，短轴右端点为， 为线段的中点.

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，试探究在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在轴上存在定点，使得

【解析】试题分析：（1）由中点坐标公式可得，即得，再根据离心率，解得，（2）， 等价于，.设， ， ，利用斜率公式及直线方程，化简得，即，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得，即得.

试题解析：解：(Ⅰ)由已知，又，即，得，

所以椭圆方程为.

(Ⅱ)假设存在点满足题设条件.

当⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有，即；

当与x轴不垂直时，设的方程为，

代入椭圆方程化简得： .设， ，

则， ，

，

∵

.

若， 则，

即， 整理得，

∵，∴.综上在轴上存在定点，使得.